TUGAS
STATISTIK PENDIDIKAN
UKURAN
PEMUSATAN DAN UKURAN PENYEBARAN
Oleh
Andhina Fitrianita
Putri, S.Pd
Fitri Ramayanti,
S.Pd
Rahmita Solihat,
S.Pd
DOSEN PENGASUH : 1. Prof. Dr.Djaali, M.Pd.
2. Dr. Yusuf Hartono
3. Dr. Rusdy A. Siroj, M.Pd
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU
PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI
MAGISTER TEKNOLOGI PENDIDIKAN
UNIVERSITASSRIWIJAYA
2013
PENDAHULUAN
Statistika
merupakan suatu bidang ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara
pengumpulan fakta/data, pengolahan data, dan menganalisis data tersebut
sehingga akan didapat suatu kesimpulan. Untuk melakukan pengolahan data, selain
pembuatan tabel maupun grafik, diperlukan juga ukuran-ukuran yang tepat untuk
mewakili data tesebut, sehingga dapat disajikan secara singkat dan dapat
mewakili untuk membandingkan keadaan pada tiap kelompok.
Untuk
keperluan pengolahan data lebih lanjut, dapat dilakukan pengolahan ukuran
pemusatan dan ukuran penyebaran data. Ukuran pemusatan meliputi rata-rata
hitung, median, modus, dan bentuk distribusi frekuensi. Sedangkan ukuran
penyebaran meliputi rank, sebaran data, deviasi rerata, variansi dan simpangan
baku, ukuran kemencengan, dan keruncingan kurva normal.
Dengan
dilakukannya pengumpulan data baik secara pemusatan maupun penyebaran, akan
lebih terlihat kesimpulan yang didapat dari data yang tersedia.
PEMBAHASAN
1. Pengertian Ukuran Pemusatan Data
Ronald E.Walpole (1993),“ukuran
pemusatan data adalah sembarang ukuran
yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil
sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil.”
Menurut Iqbal (2001:),“ukuran
pemusatan data adalah ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan.
Artinya, jika keseluruhan nilai yang ada dalam data tersebut diurutkan besarnya
dan selanjutnya dimasukkan nilai rata-rata diurutan paling tengah atau pusat.”
Dari pendapat para ahli
mengenai ukuran pemusatan data dapat dipahami bahwa ukuran pemusatan data
adalah nilai tunggal yang dapat mewakili kumpulan data yang menunjukkan pusat
dari nilai data.
2.
Jenis-Jenis Ukuran Pemusatan
Data
a.
Rata-rata Hitung (Mean)
Rata-rata
hitung (mean) adalah nilai rata-rata
dari data-data yang tersedia. Rata-rata hitung dari populasi diberi simbol ยต (baca:miu). Rata-rata hitung dari sampel
diberi simbol
(baca:eks bar).
Menentukan
rata-rata hitung secara umum dapat dirumuskan:
1) Rata-rata
hitung (mean) untuk data tunggal
¨ Jika
X1, X2, ... Xn
merupakan n buah nilai dari variabel X, maka rata-rata hitungnya
sebagai berikut :
=
Keterangan:
=
rata-rata hitung (mean)
X =
wakil data
n = jumlah data
¨ Jika
X1, X2, ... Xn
masing-masing
memiliki frekuensi f1, f2,...,fn,
maka rata-rata hitungnya sebagai berikut :
=
2)
Rata-rata hitung (mean) data berkelompok
¨ Metode biasa
Apabila
telah dibentuk distribusi frekuensi biasa, dengan f1 = frekuensi
pada interval kelas ke-i, maka rata-rata hitung (mean) dapat dihitung dengan
rumus :
Contoh soal:
Tentukan rata-rata
hitung dari tabel berikut:
Tabel 1.1 Berat badan 100 orang mahasiswa Pascasarjana UNSRI
Teknologi
Pendidikan 2013
|
Berat Badan (kg)
|
Banyaknya
Mahasiswa (f)
|
|
50 – 52
53 – 55
56 - 58
59 – 61
62 – 64
|
10
25
32
15
18
|
|
Jumlah
|
100
|
Penyelesaian:
|
Berat Badan (kg)
|
Banyaknya Mahasiswa
(f)
|
Nilai Tengah(X)
|
fX
|
|
50 – 52
53 – 55
56 - 58
59 – 61
62 – 64
|
10
25
32
15
18
|
51
54
57
60
63
|
510
1350
1824
900
1134
|
|
Jumlah
|
100
|
-
|
5718
|
¨ Metode Simpangan Rata-rata
Apabila
M adalah rata-rata hitung sementara maka rata-rata hitung dapat dihitung dengan
rumus :
Keterangan:
M =
rata-rata hitung sementara, biasanya diambil dari titik tengah kelas
dengan frekuensi terbesarnya (titik tengah kelas modus)
d = X – M
X =
titik tengah interval kelas
f =
frekuensi kelas
Contoh Soal :
Dengan
soal yang sama seperti di atas seperti pada tabel 1.1, tentukan mean nya dengan
metode simpangan rata-rata
|
Berat Badan (kg)
|
F
|
X
|
d = X –M
|
Fd
|
|
50 – 52
53 – 55
56 - 58
59 – 61
62 – 64
|
10
25
32
15
18
|
51
54
57
60
63
|
-6
-3
0
3
6
|
-60
-75
0
45
108
|
|
Jumlah
|
100
|
-
|
0
|
18
|
¨ Metode coding
Metode
coding sering digunakan apabila
nilai-nilai dalam data yang berupa bilangan-bilangan besar. Pada dasarnya,
metode itu merupakan penjabaran dari metode simpangan rata-rata. Dirumuskan :
Keterangan
:
M =
rata-rata hitung sementara
C =
panjang kelas
u = 0, ±1, ±2, ...
=
, dengan d = X
– M
Contoh soal:
Dengan soal yang sama seperti di atas pada tabel 1.1, gunakan dengan metode coding
|
Berat Badan (kg)
|
F
|
X
|
d = X –M
|
u
|
fd
|
|
50 – 52
53 – 55
56 - 58
59 – 61
62 – 64
|
10
25
32
15
18
|
61
64
67
70
73
|
-6
-3
0
3
6
|
-2
-1
0
1
2
|
-20
-25
0
15
36
|
|
Jumlah
|
100
|
-
|
0
|
0
|
6
|
b.
Median
Median adalah nilai tengah dari data yang diurutkan.
Median sering juga disebut rata-rata posisi. Median disimbolkan dengan Me atau Md.
1)
Median
data tunggal
v Jika jumlah data ganjil, mediannya adalah data yang
berada paling tengah.
Me = Xn/2
v Jika jumlah data genap, mediannya adalah hasil bagi
jumlah dua data yang berada di tengah.
Me =
2)
Median
data kelompok
ร Median untuk data berkelompok dapat dicari dengan rumus
sebagai berikut :
Keterangan
:
B = tepi bawah kelas median
n = jumlah frekuensi
(
=
jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas media
C =
panjang interval kelas
fMe = frekuensi kelas median
Contoh
Soal :
Tentukan median dari distribusi frekuensi berikut:
Tabel 1.2 Diameter dari 40 buah pipa
|
Diameter Pipa (m)
|
Frekuensi (f)
|
|
85 – 87
88 – 90
91 – 93
94 – 96
97 – 99
100 – 102
|
2
5
13
14
4
2
|
|
Jumlah
|
40
|
Penyelesaian :
Jumlah
frekuensi (n) = 40 dan
= 20
Kelas
median adalah (
≥
f1 + f2
+ f3 = 20 ≥ 20
Jadi, kelas median adalah kelas ke-3
B = 90,5
=
7
C = 3
fMe = 13
Me = B +
= 90,5
+
= 93,5
c.
Modus (Mode)
Modus adalah nilai yang sering muncul dalam data. Modus
disimbolkan dengan Mo.
Cara mencari modus dibedakan antara data tunggal dan data kelompok.
¨
Modus
data tunggal
Modus data tunggal adalah data yang
frekuensinya terbanyak.
Contoh
soal :
Tentukan modus dari data : 1, 2, 4, 4, 5, 8, 9.
Modus =
4
¨
Modus
data kelompok
Modus akan berada pada kelas yang memiliki frekuensi
terbesar. Kelas yang memiliki frekuensi terbesar disebut sebagai kelas modus.
Keterangan
:
Mo = modus
L = tepi bawah kelas modus
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan
frekuensi kelas sesu
C = panjang interval kelas
Contoh
soal :
Dari tabel 1.2 diketahui bahwa kelas modus adalah kelas
ke-3
L = 85,5
d1 = 7
d2 = 17
C = 3
Mo =
= 85,5
+
x 3
=
88,375
3. Distribusi
Frekuensi
a. Pengertian
Distribusi Frekuensi
Kuswanto (2006),“distribusi frekuensi adalah penyusunan data dalam
kelas-kelas interval.”
Djarwanto (1982),“distribusi frekuensi adalah membuat uraian dari
suatuhasil penelitian dan menyajian hasil penelitian tersebut dalam bentuk yang
baik, yakni bentuk statistik popular yang sederhana sehingga kita dapat lebih
mudah mendapat gambaran tentang situasi hasil penelitian.”
Iqbal (2001),“distribusi frekuensi adalah susunan data menurut
kelas-kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah
daftar.”
Dari pendapat para ahli tersebuut dapat dipahami bahwa
distribusi frekuensi adalah penyusunan data ke dalam kelas-kelas tertentu
dimana setiap data hanya termasuk kedalam salah satu kelas tertentu saja.
b.
Bagian-bagian Distribusi Frekuensi
Sebuah distribusi frekuensi akan memiliki bagian-bagian
sebagai berikut :
1)
Kelas-kelas
(class)
Kelas
adalah kelompok nilai data atau variabel.
2)
Batas
kelas (class limits)
Batas
kelas adalah nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu dengan kelas yang lain.
Terdapat dua batas kelas, yaitu :
ร Batas kelas bawah (lower
class limits), terdapat di deretan sebelah kiri setiap kelas;
ร Batas kelas atas (upper
class limits), terdapat di deretan sebelah kanan setiap kelas.
3)
Tepi
kelas (class boundary/real limits/true
class limits)
Tepi
kelas disebut juga batas nyata kelas, yaitu batas kelas yang tidak memiliki
lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan kelas yang lain.
Terdapat dua tepi kelas, yaitu :
ร Tepi bawah kelas atau batas kelas bawah sebenarnya;
ร Tepi atas kelas atau batas kelas atas sebenarnya.
4)
Titik
tengah kelas atau tanda kelas (class mid
point/class marks)
Titik
tengah kelas adalah angkaatau nilai data yang tepat terletak di tengah suatu
kelas. Titik tengah kelas merupakan nilai yang mewakili kelasnya.
Titik
tengah kelas = ½ (batas atas + batas bawah) kelas.
5)
Interval
kelas (class interval)
Interval
kelas adalah selang yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas yang lain.
6)
Panjang
interval kelas atau luas kelas (interval
size)
Panjang
interval kelas adalah jarak antara tepi atas kelas dan tepi bawah kelas.
7)
Frekuensi
kelas (class frequency)
Frekuensi
kelas adalah banyaknya data yang termasuk ke dalam kelas tertentu.
Contoh Soal:
Tabel 1.3 Modal Perusahaan Percetakan “Prima Mandiri”
|
Modal (jutaan
Rupiah)
|
Frekuensi (f)
|
|
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 – 99
100 – 109
|
16
32
20
17
15
|
|
Jumlah
|
100
|
Dari distribusi frekuensi di atas:
a.
Banyaknya
kelas adalah 5.
b.
Batas
kelas-kelas adalah 60, 69, 70, 79,...
c.
Batas
bawah kelas-kelas adalah 60, 70, 80, 90, 100.
d.
Batas
atas kelas-kelas adalah 69, 79, 89, 99, 109.
e.
Batas
nyata kelas-kelas adalah 59,5; 69,5; 79,5; 89,5; ...
f.
Tepi
bawah kelas-kelas adalah 59,5; 69,5; 79,5; 89,5; 99,5.
g.
Tepi
atas kelas-kelas adalah 69,5; 79,5; 89,5; 99,5; 109,5.
h.
Titik
tengah kelas-kelas
adalah 64,5; 74,5; 84,5; 94,5; 104,5.
i.
Interval
kelas-kelas adalah 60 – 69, 70 – 79, ... 100 – 109.
j.
Panjang
interval kelas-kelas masing-masing 10.
k.
Frekuensi
kelas-kelas adalah 16, 32, 20, 17, dan 15.
c.
Penyusunan Distribusi Frekuensi
Distribusi
frekuensi dapat dibuat dengan mengikuti pedoman berikut:
1)
Mengurutkan
data dari yang terkecil ke yang terbesar.
2)
Menentukan
jangkauan (range) dari data.
Jangkauan
= data terbesar - data terkecil.
3)
Menentukan
banyaknya kelas (k).
|
k = 1 + 3,3 log n
|
kัbulat
Keterangan :
k =
banyaknya kelas
n =
banyaknya data
4)
Menentukan
panjang interval kelas
Panjang
interval kelas (i) =
5)
Menentukan
batas bawah kelas pertama.
Batas
bawah kelas pertama biasanya dipilih dari data terkecil atau data terkecil yang
berasal dari pelebaran jangkauan (data yang lebih kecil dari data terkecil) dan
selisihnya harus kurang dari panjang interval kelasnya.
6)
Menuliskan
frekuensi kelas secara melidi dalam kolom turus atau tally (sistem turus) sesuai banyaknya data.
Contoh soal :
Dari
hasil pengukuran diameter pipa dibuat oleh sebuah mesin (dalam mm terdekat)
diperoleh data sebagai berikut.
78 72 74 79 74 71 75 74 72 68
72 73 72 74 75 74 73 74 65 72
66 75 80 69 82 73 74 72 79 71
70 75 71 70 70 70 75 76 77 67
Penyelesaian :
a)
Urutkan
data :
65 66 67 68 69 70 70 70 70 71
71 71 72 72 72 72 72 72 73 73
73 74 74 74 74 74 74 74 75 75
75 75 75 76 77 78 79 79 80 82
b)
Jangkauan
(R) =
82 – 65 = 17
c)
Banyaknya
kelas (k) adalah
k = 1 +
3,3 log 40
= 1
+ 5,3
=
6,3 ≈ 6
d)
Panjang
interval kelas (i) adalah
i =
≈ 3
e)
Batas
kelas pertama adalah 65 (data terkecil)
f)
Tabelnya
Tabel 1.4 Pengukuran
Diameter Pipa-pipa (satuan mm)
|
Diameter
|
Turus
|
Frekuensi
|
|
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82
|
III
IIII I
IIII IIII
II
IIII IIII
III
IIII
II
|
3
6
12
13
4
2
|
|
Jumlah
|
|
40
|
d. Jenis-jenis
Distribusi Frekuensi
Berdasarkan kriteria-kriteria tertentu, distribusi
frekuensi dapat dibedakan atas tiga jenis, yaitu distribusi frekuensi biasa,
distribusi frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi kumulatif.
1.
Distribusi
Frekuensi Biasa
Distribusi
frekuensi biasa adalah distribusi frekuensi yang hanya berisiskan jumlah
frekuensi dari setiap kelompok data. Jenis-jenis distribusi frekuensi biasa,
yaitu:
a)
Distribusi
frekuensi numerik
Distribusi frekuensi numerik adalah distribusi frekuensi
yang pembagian kelasnya dinyatakan dalam angka.
Contoh :
Tabel
1.5 Pelamar Perusahaan Percetakan “Prima Mandiri”
|
Umur (tahun)
|
Frekuensi
|
|
20 – 24
25 – 29
30 – 34
35 – 39
40 – 44
|
15
20
9
4
2
|
|
Jumlah
|
50
|
b)
Distribusi frekuensi peristiwa atau
kategori
Distribusi frekuensi peristiwa atau kategori adalah
distribusi frekuensi yang pembagian kelasnya dinyatakan berdasarkan data atau
golongan data yang ada
Contoh :
Tabel 1.6 Hasil Pelemparan
Dadu sebanyak 30 kali
|
Angka Dadu (X)
|
Banyaknya Peristiwa (f)
|
|
1
2
3
4
5
6
|
4
6
5
3
8
4
|
|
Jumlah
|
30
|
2.
Distribusi
Frekuensi Relatif
Distribusi
frekuensi relatif adalah distribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai hasil
bagi antara frekuensi kelas dan jumlah pengamatan yang terkandung dalam
kumpulan data yang berdistribusi tertentu. Frekuensi relatif dirumuskan:
frelatif =
, i
= 1, 2, 3,..
Contoh:
Tabel
1.7 Distribusi Frekuensi Relatif
|
Interval Kelas (Tinggi (cm))
|
Frekuensi (Banyak murid)
|
Frekuensi Relatif
|
||
|
Perbandingan
|
Desimal
|
Persen
|
||
|
100 – 104
105 – 109
110 – 114
115 – 119
120 – 124
125 – 129
130 – 134
|
2
4
10
14
12
5
3
|
2/50
4/50
10/50
14/50
12/50
5/50
3/50
|
0,04
0,08
0,20
0,28
0,24
0,10
0,06
|
4
8
20
28
24
10
6
|
|
Jumlah
|
50
|
1
|
1
|
100
|
3.
Distribusi
Frekuensi Kumulatif
Distribusi
frrekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang berisikan frekuensi
kumulatif. Frrekuensi kumulatif adalah frekuensi yang dijumlahkan.
Distribusi
frekuensi kumulatif memiliki grafik atau kurva yang disebut ogif. Pada ogif dicantumkan frekuensi frekuensi kumulatifnya dan digunakan
nilai batas kelas.
Ada
dua macam distribusi frekuensi kumulatif, yaitu distribusi frekuensi kumulatif
kurang dari, dan lebih dari.
a.
Distribusi
frekuensi kumulatif kurang dari
Distribusi
frekuensi kumulatif kurang dari adalah distribusi frekuensi yang memuat jumlah
frekuensi yang memiliki nilai kurang dari nilai batas kelas suatu interval tertentu.
b.
Distribusi
frekuensi kumulatif lebih dari
Distribusi
frekuensi kumulatif lebih dari adalah distribusi frekuensi yang memuat jumlah
frekuensi yang memiliki nilai lebih dari nilai batas kelas suatu interval
tertentu.
Contoh:
Tabel
1.8
Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari
|
Distribusi Frekuensi Biasa
|
Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang
Dari
|
||
|
Tinggi (cm)
|
Frekuensi
|
Tinggi (cm)
|
Frekuensi
|
|
100 – 104
105 – 109
110 – 114
115 – 119
120 – 124
125 – 129
130 – 134
|
2
4
10
14
12
5
3
|
kurang dari
100
kurang dari 105
kurang dari 110
kurang dari 115
kurang dari 120
kurang dari 125
kurang dari 130
kurang dari 135
|
= 0
0+2
0+2+4
0+2+4+10
0+2+4+10+14
0+2+4+10+14+12
0+2+4+10+14+12
|
|
|
|
|
|
UKURAN DISPERSI
1. Pengertian
Dispersi
Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran
penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan
nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa
banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.
2. Jenis-Jenis
Ukuran Dispersi
a.
Jangkauan
(Range, R)
Jangkauan
atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai terkecil
data. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data tunggal dan data
berkelompok.
1)
Jangkauan
data tunggal
Bila
ada sekumpulan data tunggal X1, X2, ..., Xn maka
jangkauannya adalah:
Jangkauan = Xn
- Xi
Contoh soal:
Tentukan
jangkauan data: 1, 3, 5, 10, 12, 15!
Penyelesaian:
X6=
15 dan X1= 1
Jangkauan
= X6 – X1 = 15 – 1 = 14
2)
Jangkauan
data berkelompok
Untuk
data berkelompok, jangkauan dapat ditentukan dngan dua cara, yaitu menggunakan
titik atau nilai tengah dan menggunakan tepi kelas.
a.
Jangkauan
adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.
b.
Jangkauan
adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah.
Contoh soal:
Tentukan
jangkauan dari distribusi frekuensi berikut:
Tabel 1.7 Pengukuran Tinggi Badan
|
Interval Kelas (Tinggi (cm))
|
Frekuensi (Banyak murid)
|
|
|
100 – 104
105 – 109
110 – 114
115 – 119
120 – 124
125 – 129
130 – 134
|
2
4
10
14
12
5
3
|
|
|
Jumlah
|
50
|
Penyelesaian:
Dari tabel 1.7
terlihat:
Titik tengah kelas
terendah = 102
Titik tengah kelas
tertinggi = 132
Tepi bawah kelas
terendah = 99,5
Tepi atas kelas
tertinggi = 134,5
a)
Jangkauan
= 132 – 102 = 30
b)
Jangkauan
= 134,5 – 99,5 = 35
b.
Jangkauan
Antarkuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil
Jangkauan
antarkuartil adalah selisih antara nilai kuartil atas (Q3) dan
kuartil bawah (Q1). Dirumuskan:
JK = Q3
– Q1
Jangkauan
semi interkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah dari selisih kuartil
atas (Q3) dengan kuartil bawah (Q1). Dirumuskan:
Qd = ½ (Q3
– Q1)
Rumus-rumus
di atas berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok.
Contoh Soal:
Tentukan
jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil dari data berikut!
1,
3, 5, 10, 12, 15, 16
Penyelesaian:
Q1
= 3 dan Q3 = 15
JK
= Q3 – Q1
= 15 – 3 = 12
Qd
= ½ (15 – 3) = 6
Tentukan
jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil distribusi frekuensi
berikut:
Tabel 1.7 Pengukuran Tinggi Badan
|
Interval Kelas (Tinggi (cm))
|
Frekuensi (Banyak murid)
|
|
|
100 – 104
105 – 109
110 – 114
115 – 119
120 – 124
125 – 129
130 – 134
|
2
4
10
14
12
5
3
|
|
|
Jumlah
|
50
|
Penyelesaian:
= 114,5 +
= 114,5 + (-1,25)
= 113,25
Q3 = B3 +
= 124,5 +
= 124,5 + (-1,875)
= 122,625
c.
Data
Tersebar
1)
Kuartil
Kuartil
dapat dikatakan sebagai ukuran perempatan, artinya nilai-nilai kuartil akan
membagi empat sama banyak terhadap banyak data. Terdapat tiga jenis kuartil,
yaitu kuartil bawah atau pertama (Q1), kuartil tengah atau kurtil
kedua (Q2), dan kuartil atas atau ketiga (Q3). Kuartil
kedua sama dengan median.
a)
Kuartil
data tunggal
Untuk
data tunggal, kuartil-kuartilnya dapat dicari dengan menggunakan metode mencari
median, atau rumus:
Q1
= nilai yang ke
Contoh Soal:
Tentukan
kuartil dari data 1, 3, 5, 10, 12, 15, 16
Penyelesaian:
Data diurutkan 1,
3, 5, 10, 12, 15, 16
n = 7
Q1
= nilai ke
Q1
= nilai yang ke
= 2,
yaitu 3
Q2
= nilai yang ke
= 4,
yaitu 10
Q3
= nilai yang ke
= 6,
yaitu 15
b)
Kuartil
data berkelompok
Untuk
data berkelompok kuartil-kuartilnya dapat dicari dengan rumus:
Q1
= B1 +
Keterangan:
B1 =
tepi bawah kelas kuartil
n =
jumlah semua frekuensi
i =
1, 2, 3
(ฮฃf1)o = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil
C =
panjang interval kelas
fQ1 = frekuensi kelas kuartil
Dalam
mencari kuartil-kuartil tersebut, yang perlu dicari terlebih dahulu adalah
kelas tempat kuartil-kuartil itu berada (kelas kuartil), yaitu sebagai berikut:
(1)
Kelas
Q1, jika (ฮฃf1)o≥¼
(n)
(2)
Kelas
Q2, jika (ฮฃf2)o
≥ ¼ (n)
(3)
Kelas
Q3, jika (ฮฃf3)o
≥ ¼ (n)
Contoh soal:
Tentukan
Q1, Q2, dan Q3 dari distribusi frekuensinya!
Tabel 1.2 Diameter dari 40 buah pipa
|
Diameter Pipa (m)
|
Frekuensi (f)
|
|
85 – 87
88 – 90
91 – 93
94 – 96
97 – 99
100 – 102
|
2
5
13
14
4
2
|
Penyelesaian:
Dari tabel 1.2 diketahui:
n = 40, berarti ¼ n = 10, ½ n = 20 dan ¾ n = 30
Kelas Q1 = kelas ke-3
Kelas Q2 = kelas ke-3
Kelas Q3 = kelas ke-4
B1 = 90,5 (ada di kelas ke-3)
B2 = 90,5 (ada di kelas ke-3)
B3 = 93,5 (ada di kelas ke-4)
(ฮฃf1)o
= 7; (ฮฃf2)o = 7; (ฮฃf1)o = 20
C = 3
fQ1 =
13; fQ2 = 13; fQ3 = 14
Q1
= B1 +
= 90,5 +
= 90,5 + 0,69
= 91,19
Q2
= B2 +
= 90,5 +
= 90,5 + 3
= 93,5
Q3 = B3 +
= 93,5 +
= 93,5 + 2,14
= 95,64
2)
Desil
(D)
Desil
adalah fraktil yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi sepuluh
bagian yang sama. Cara mencari desil dibedakan antara data tunggal dan
kelompok.
a)
Desil
data tunggal
Untuk
data tunggal desil-desilnya dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut.
D
= nilai ke
Contoh soal:
Tentukan
desil ke-3 (D3) dan desil ke-7 (D7) dari data berikut.
1,
3, 5, 10, 12, 15, 16
Penyelesaian:
D3
= data ke
= data ke
= data ke 2,4
= X2 +
0,4 (X3 – X2)
= 3 + 0,4 (5 – 3)
= 3,8
D7
= data ke
=
data ke
= data ke 5,6
=
X5 + 0,6 (X6 – X5)
=
10 + 0,6 ( – 10)
=
10,8
b)
Desil
data berkelompok
Untuk
data berkelompok desil-desilnya dapat dicari dengan menggunakan rumus:
Di
= Bi +
Keterangan:
Di = desil ke-i
Bi = tepi bawah kelas desil ke-i
n = jumlah semua frekuensi
i = 1, 2, 3
(ฮฃfi)o = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil ke-i
C = panjang interval kelas
fQi = frekuensi kelas desil ke-i
Contoh Soal:
Tentukan
desil ke-4 dan ke-8
Tabel 1.2 Diameter dari 40 buah pipa
|
Diameter Pipa (m)
|
Frekuensi (f)
|
|
85 – 87
88 – 90
91 – 93
94 – 96
97 – 99
100 – 102
|
2
5
13
14
4
2
|
|
Jumlah
|
40
|
Penyelesaian:
Untuk mencari
desil ke-4 dan desil ke-6, terlebih dahulu dicari kelas desil ke-4 dan kelas
desil ke-6, yaitu:
1)
Kelas
desil ke-4, jika (ฮฃf4)o ≥
(n)
2)
Kelas
desil ke-6, jika (ฮฃf6)o ≥
(n)
Dari
tabel 1.2 tersebut diketahui:
n
= 40, maka
(40) = 16 dan
(40) = 24
Kelas
D4 adalah kelas ke-4
Kelas
D6adalah kelas ke-6
B4=
93,5 (tepi bawah kelas ke-4)
B6=
99,5 (tepi bawah kelas ke-6)
(ฮฃf4)o = 20 dan (ฮฃf6)o = 38
C
= 10
fD4 = 14 dan fD6 = 2
D4 = B4 +
=
93,5 +
=
93,5 + (-2,86)
= 90,64
D6 = B6 +
= 99,5 +
= 99,5 +
(-70)
= 90,64
+ (-1)
= 29,5
3)
Persentil
Persentil
adalah fraktil yang membagi seperangkat data yang telah terurut yang menjadi
seratus bagian yang sama. Terdapat sembilan puluh sembilan persentil, yaitu
persentil pertama(P1), persentil kedua (P2), ... dan
persentil kesembilan puluh sembilan (P99). Cara mencari persentil
dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.
a)
Persentil
data tunggal
Rumus:
Pi
= nilai ke
, i = 1, 2, 3,
..., 99
Contoh soal:
Tentukan
persentil k3-10 (P10) dan persentil ke-76 (P76) dari data
berikut!
30 31 32 34 36 36 37 40 41 41
43 45 45 45 46 47 47 48 49 50
51 51 52 53 54 56 57 58 59 60
Penyelesaian:
n = 30
P10 = nilai ke
= nilai ke
= 3,1
=
X3 + 0,1 (X4 – X3)
=
32 + 0,1 (34 – 32)
=
32 + 0,1 (2)
=
32 + 0,2
=
32,2
P76 = nilai ke
= nilai ke
= 23,56
=
X23 + 0,56 (X24 – X23)
=
52 + 0,56 (53 – 52)
=
52 + 0,56 (1)
=
52 + 0,56
=
52,56
b)
Persentil
data berkelompok
Untuk
data berkelompok (distribusi frekuensi), persentil-persentilnya dapat dicari
dengan menggunakan rumus:
Pi = Bi +
Keterangan:
Pi = persentil ke-i
Bi = tepi bawah kelas persentil
ke-i
i = 1, 2, 3, ..., 99
(ฮฃfi)o = jumlah semua frekuensi sebelum kelas persentil
C = panjang interval kelas
fpi = frekuensi kelas persentil
Contoh soal:
Dari
distribusi fekuensi di bawah ini, tentukan P35 dan P88!
Tabel 1.9 TINGGI 100 MAHASISWA
UNIVERSITAS SWASTA TAHUN 1990
|
Tinggi (cm)
|
Frekuensi (f)
|
|
150 – 154
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
175 – 179
|
4
8
14
35
27
12
|
|
Jumlah
|
100
|
Penyelesaian:
Untuk
mencari persentil ke-35 dan persentil
ke-88, terlebih dahulu dicari kelas persentil ke-35 dan ke-88.
(1)
Kelas
persentil ke-35, jika (ฮฃf35)o
≥
(2)
Kelas
persentil ke-88, jika (ฮฃf88)o
≥
Dari
tabel 1.9 di atas, diketahui:
n = 100,
maka
(100) =
35 dan
(100) =
88
Kelas P35 adalah kelas ke-4
Kelas P88 adalah kelas ke-5
B35 = 164,5 (tepi bawah kelas ke-4)
B88 = 169,5 (tepi bawah kelas ke-5)
(ฮฃf35)o = 26 dan (ฮฃf88)o = 61
C = 5
Fp35 = 35 dan fp88
= 27
Pi =
Bi +
P35 = B35
+
= 164,5 +
= 164,5 + 1,29
= 165,79
P88 = B88
+
= 169,5 +
= 169,5 + 5
= 174,5
DeviasiRata-Rata
(Simpangan Rata-Rata)
Deviasi rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak
simpangan-simpangannya. Cara mencari deviasi rata-rata, dibedakan antara data
tunggal dan data berkelompok.
a)Deviasi
rata-rata tunggal
Dapat
dihitung dengan rumus:
DR
=
1 =
Contohsoal:
Tentukan
deviasi rata-rata dari 1, 3, 5, 10, 12, 15, 16!
Penyelesaian:
Rata-rata
hitung =
=
= 8,85
DR =
=
= 7,14
b)
Deviasi rata-rata data berkelompok
Dapat
dihitung dengan rumus:
DR =
Contoh
soal:
Tentukan
deviasi rata-rata dari distribusi frekuensi pada tabel 1.7!
Penyelesaian:
Pada
tabel 1.7 didapat
= 117,7
Tabel
1.7
Distribusi Frekuensi Relatif
|
Interval Kelas (Tinggi (cm))
|
X
|
f
|
│X -
│
|
f │X -
│
|
|
100
– 104
105
– 109
110
– 114
115
– 119
120
– 124
125
– 129
130
– 134
|
102
107
112
117
122
127
132
|
2
4
10
14
12
5
3
|
15,7
10,7
5,7
0,7
4,3
9,3
14,3
|
31,4
42,8
57
9,8
51,6
46,5
42,9
|
|
Jumlah
|
-
|
50
|
|
282
|
DR =
=
= 5,64
Varians
Varians
adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengaha tau simpangan
rata-rata kuadrat. Untuk sampel variansnya disimbolkan dengan
Untuk populasi, variansnya disimbolkan dengan
(baca
sigma).
a. Varians
data tunggal
1) Metode
biasa
a) Untuk
sampel besar (n > 30):
=
b) Untuk
sampel kecil (n ≤ 30):
=
2) Metode
angka kasar
a) Untuk
sampel besar (n > 30):
=
b) Untuk
sampel kecil (n ≤ 30):
=
Contoh soal:
Tentukan varians dari data 1, 3, 5, 10, 12, 15,
16!
Penyelesaian:
n = 7
=
= 8,85
|
X
|
X -
|
(X -
)2
|
X2
|
|
1
3
5
10
12
15
16
|
-
7,85
-
5,85
-
3,85
1,15
3,15
6,15
7,15
|
61,6
34,2
14,8
1,3
9,9
37,8
51,1
|
1
9
25
100
144
225
256
|
|
62
|
-
|
210,7
|
760
|
s2 =
=
= 35,1
=
=
-
= 126,6 -
= 126,6 – 91,5
= 35,1
b. Varians
data berkelompok
Untuk data berkelompok (distribusi
frekuensi), variansnya dapat ditentukan dengan menggunakan tiga metode, yaitu
metode biasa, metode angka kasar, metode coding.
1) Metode
biasa
a) Untuk
sampel besar (n > 30):
s2 =
b) Untuk
sampel kecil (n ≤ 30):
s2 =
2) Metode
angka kasar
a) Untuk
sampel besar (n > 30):
s2 =
-
b) Untuk
sampel kecil (n ≤ 30):
s2 =
-
3) Metode
coding
a) Untuk
sampel besar (n > 30):
s2 = C2 .
-
b) Untuk
sampel kecil (n ≤ 30):
s2 = C2 .
-
Keterangan:
C =
panjang interval kelas
u =
=
M =
rata-rata hitung sementara
Contoh Soal:
Tentukan varians dari distribusi frekuensi
berikut!
Tabel 1.2
Diameter dari 40 buah pipa
|
Diameter Pipa (m)
|
Frekuensi (f)
|
|
85
– 87
88
– 90
91
– 93
94
– 96
97
– 99
100
– 102
|
2
5
13
14
4
2
|
|
Jumlah
|
40
|
Penyelesaian:
1) Dengan metode biasa:
= 93,5
|
Diameter Pipa (m)
|
X
|
f
|
X -
|
(X -
)2
|
f (X -
)2
|
|
85
– 87
88
– 90
91
– 93
94
– 96
97
– 99
100
– 102
|
86
89
92
95
98
101
|
2
5
13
14
4
2
|
-7,5
-4,5
-1,5
1,5
4,5
7,5
|
56,25
20,25
2,25
2,25
20,25
56,25
|
112,5
101,25
29,25
31,5
81
112,5
|
|
Jumlah
|
-
|
40
|
-
|
-
|
468
|
s2 =
=
=11,7
2) Dengan metode angka kasar
|
Diameter Pipa (m)
|
X
|
F
|
X2
|
fX
|
f X2
|
|
85
– 87
88
– 90
91
– 93
94
– 96
97
– 99
100
– 102
|
86
89
92
95
98
101
|
2
5
13
14
4
2
|
7396
7921
8464
9025
9604
10201
|
172
445
1196
1330
392
202
|
14792
39605
110032
126350
38416
20402
|
|
Jumlah
|
-
|
40
|
-
|
3.737
|
394.597
|
s2 =
-
=
-
= 8739,9 – 8728,2= 11,7
3) Dengan metode coding
|
Diameter Pipa (m)
|
X
|
f
|
u
|
u2
|
fu
|
fu2
|
|
85
– 87
88
– 90
91
– 93
94
– 96
97
– 99
100
– 102
|
86
89
92
95
98
101
|
2
5
13
14
4
2
|
-3
-2
-1
0
1
2
|
9
4
1
0
1
4
|
-6
-10
-13
0
4
4
|
18
20
13
0
4
8
|
|
Jumlah
|
-
|
40
|
-
|
-
|
-21
|
63
|
s2 = C2 .
-
= 32 .
= 9 (1,575 – 0,276) = 11,691
c.
Simpangan Baku (Standar Deviasi)
Simpangan baku adalah akar
dari tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau akar simpangan rata-rata
kuadrat. Simpangan baku sampel disimbolkan dengan s. Simpangan baku populasi disimbolkan dengan ฯ. Untuk menentukan
nilai simpangan baku, caranya ialah dengan menarik akar dari varians. Jadi,
s
=
1)
Simpangan baku data tunggal
a) Metode
biasa
Untuk sampel
besar (n > 30):
s =
Untuk
sampel kecil (n ≤ 30):
s =
b) Metode
angka kasar
Untuk sampel
besar (n > 30):
s =
-
Untuk sampel kecil (n ≤ 30):
s =
–
Contoh soal:
Tentukan simpangan baku dari data 1, 3, 5, 10,
12, 13, 15, 16!
Penyelesaian:
Dari perhitungan diperoleh varians (s2)
= 35,1
Dengan demikian simpangan bakunya adalah
s
=
=
= 5,9
Berikut ini adalah sampel nilai mid test
statistik I dari kelompok mahasiswa di sebuah universitas.
30 35 44 52 56 68 76 84 92 98
Tentukan simpangan bakunya!
Penyelesaian:
n
= 10
|
X
|
X -
|
(X
-
2
|
X2
|
|
30
35
44
52
56
68
76
84
92
98
|
-33,5
-28,5
-19,5
-11,5
-7,5
4,5
12,5
20,5
28,5
34,5
|
1122,25
812,25
380,25
132,25
56,25
20,25
156,25
420,25
812,25
1190,25
|
900
1225
1936
2704
3136
4624
5776
7056
8464
9604
|
|
635
|
= 63,5
|
5.102,5
|
45.425
|
Dengan metode biasa
s =
=
=
= 23,8
Dengan metode angka kasar
s =
–
=
=
= 23,8
2) Simpangan
baku data berkelompok
a) Metode
biasa
Untuk sampel
besar (n > 30):
s =
Untuk sampel kecil (n ≤ 30):
s =
b)
Metode angka kasar
Untuk
sampel besar (n > 30):
s =
-
Untuk
sampel kecil (n ≤ 30):
s =
–
c) Metode
coding
Untuk
sampel besar (n > 30):
s = C
-
Untuk sampel
kecil (n ≤ 30):
s = C
-
Keterangan:
C = panjang interval dalam kelas
u =
=
M = rata-rata hitung sementara
Contoh Soal:
Tentukan simpangan baku dari distribusi
frekuensi pada contoh Tabel 1.1!
Penyelesaian:
Dari
perhitungan didapatkan varians (s2) = . Dengan demikian, simpangan
bakunya adalah:
s =
=
= 16,5
Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi
berikut!
Tabel
1.1 Berat badan 100 mahasiswa Unsri
|
Berat Badan (kg)
|
Banyaknya Mahasiswa (f)
|
|
50 – 52
53 – 55
56 - 58
59 – 61
62 – 64
|
10
25
32
15
18
|
|
Jumlah
|
100
|
Penyelesaian:
Dengan metode biasa
|
Berat Badan (kg)
|
f
|
X
|
fX
|
X -
|
(X -
)2
|
f.(X -
)2
|
|
50 – 52
53 – 55
56 - 58
59 – 61
62 – 64
|
10
25
32
15
18
|
51
54
57
60
63
|
510
1350
1824
900
1134
|
-6,18
-3,18
-0,18
2,82
5,82
|
38,1924
10,1124
0,0324
7,9524
33,8724
|
381,924
252,81
1,0368
119,286
609,7032
|
|
Jumlah
|
100
|
285
|
5718
|
|
|
1.364,76
|
=
=
= 57,18
s =
=
= 3,68
Dengan metode angka kasar
|
Berat Badan (kg)
|
f
|
X
|
X2
|
fX
|
fX2
|
|
50 – 52
53 – 55
56 - 58
59 – 61
62 – 64
|
10
25
32
15
18
|
51
54
57
60
63
|
2.601
2.916
3.249
3.600
3.969
|
510
1.350
1.824
900
1.134
|
26.010
72.900
103.968
54.000
71.442
|
|
Jumlah
|
100
|
285
|
|
5.718
|
328.320
|
s =
-
=
= 3,7
Dengan metode coding
|
Berat Badan (kg)
|
f
|
X
|
u
|
u2
|
fu
|
fu2
|
|
50 – 52
53 – 55
56 - 58
59 – 61
62 – 64
|
10
25
32
15
18
|
51
54
57
60
63
|
-2
-1
0
1
2
|
4
1
0
1
4
|
-20
-25
0
15
36
|
40
25
0
15
72
|
|
Jumlah
|
100
|
|
|
|
6
|
152
|
c = 3
s = C
-
= 3 .
= 3,69
Daftar Pustaka
Ronald E.Walpole., 1993. Pengantar
Statistika, halaman 22-27". Jakarta : PT Gramedia Pustaka Utama
2 komentar:
maaf untuk yg kuartil data kelompk untuk contoh soal kok bisa dpat 0,69 it dri mna ya. mohon di jlskan .. trimksih
kak aku mau file aslinya dong
Posting Komentar